Ecuación de Burgers

Métodos Numéricos Avanzados. 2022-2023

Author

Affiliation

David Gómez-Castro

Universidad Complutense de Madrid

Ecuación de Burgers

La ecuación de Burgers corresponde a un fluido que se mueve con velocidad \(v = \rho/2\), es decir \(F = v \rho\) y

\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} = - \frac{\partial}{\partial x} \frac {\rho^2} 2 \]

El \(2\) procede de \(\frac{\partial \rho}{\partial t} =- \rho \frac{\partial \rho }{\partial x}\).

Pongamos como dato inicial

\[ \rho_0 = \min\Big(1,\max(2-4|x|,0)\Big) \]

using Plots, LaTeXStrings, Printf

N  = 64; 
x  = range(-1.0,1.0,N+1); x = vec(x[1:end-1])
Δx = x[2] - x[1]
ρ0(x) = min.(1,max.(-4*abs.(x).+2,0))

plot(x,ρ0(x),ylim=[0.0,1.5],
    title=L"\rho_0", linewidth=2, thickness_scaling = 1.5,label="")

Soluciones exactas. Shocks

Si intentamos buscar soluciones exactas \(\rho_t (X_t ) = \rho_0 (y)\) deducimos que \[ \frac{dX_t}{dt} (t) = \rho_0(y) \]

Luego \(\rho_t (y + \rho_0(y) t) = \rho_0(y)\)

y = copy(x)

@gif for t=0:0.01:2
    plot( y + ρ0(y)*t ,ρ0(y),
            xlim=[-1.0,2.0],ylim=[0.0,1.5],
            title="t = $t",
            linewidth=2,thickness_scaling = 1.5,label="")
end