Algunas ideas de matemática financiera
STEM Bach 2023-2024
May 8, 2024
¿Qué es eso de invertir?
Acciones
Hay empresas en las que se puede comprar una participación (“trocito”) en el mercado, normalmente llamado “bolsas”.
A esta participación se la llama acción. Dan derecho a la parte correspondiente de dividendos.
Se vende un trocito muy pequeño.
Apple tiene se componen en octubre de 2023 de 15_787_154_000 acciones.
Se mueve “estocásticamente”
Derivados
Una opción financiera es un instrumento financiero derivado que se establece en un contrato que da a su comprador:
el derecho, pero no la obligación,
a comprar o vender bienes o valores (el activo subyacente, que pueden ser acciones, bonos, índices bursátiles, etc.)
a un precio predeterminado (strike o precio de ejercicio, denotado \(K\)),
hasta una fecha concreta (vencimiento, denotado \(T\)).
Posibles situaciones favorables para la compra de derivados
Cuando se prevé que una acción va a tener una tendencia alcista, ya que es más barato que la compra de acciones.
Cuando una acción ha tenido una tendencia alcista fuerte, el inversor no ha comprado y puede pensar que está cara, pero que puede seguir subiendo, la compra de una opción de compra permite aprovechar las subidas si la acción sigue subiendo y limitar las pérdidas si la acción cae.
Cuando se quiere comprar acciones en un futuro próximo porque se cree que van a subir pero hoy NO se dispone de los fondos necesarios, la opción de compra permite aprovechar las subidas (si al final se producen) sin tener que comprar las acciones (hoy/ahora).
Interés
“A plazo fijo”. Bonos y otros
Por cada \(1\)€ hoy y te devuelvo \((1+r)\)€ dentro de un tiempo \(T\).
Reinversión
Si esperas hasta \(2T\) tendrás \((1+r)(1+r)X = (1 +r)^2 X\) €.
Interés compuesto
En general, si esperas tiempo \(nT\) tienes \((1+r)^n X\)€.
Análisis de datos
Retornos
Digamos que \(S_t\) es el precio de 1 acción con el tiempo en años, y calculamos con \(dt = 1\) semana.
Intentemos entender cuánto “sube” o “baja” la acción. El incremento de la acción es \(S_t - S_{t-dt}\)
Quizás no es el “incremento absoluto”, si no el relativo (en porcentaje) \(\frac{S_t - S_{t-dt}}{S_{t-dt}}\)
Simplificamos \(\frac{S_t - S_{t-dt}}{S_{t-dt}} = \frac{S_t}{S_{t-dt}} - 1\). Nos basta con entender \(\frac{S_t}{S_{t-dt}}\)
Operando con datos
La experiencia nos dice que la información es mejor si estudiamos \(\log\frac{S_t}{S_{t-dt}} = \log S_t - \log S_{t-dt}\)
Parece “aleatorio”.
Este histograma se puede aproximar razonablemente por una distribución normal.
¡Oh, no! ¡Probabilidad!
¿Cómo se ajusta una distribución normal?
Se utilizan la media muestral y la cuasi-varianza muestral \[ \begin{aligned} \overline x &= \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i \\ \overline \sigma &= \sqrt{\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline x)^2 } \end{aligned} \]
Hay un muy buen modelo matemático para cosas con \[ X_{t + dt} - X_t \sim \textrm{Normal}(...) \]
Movimiento browniano
Paseos aleatorios y ruido Browniano
Caja de Galton
Probabilidad
Lanzamos una moneda al aire muchas veces y calculamos \[ \frac{\text{número de caras}}{\text{número de lanzamientos}} \]
Si la moneda está bien equilibrada esperamos, para un número grande de lanzamiento, algo aproximado a \(1/2\).
En cualquier caso, a esto lo podemos llamar probabilidad a un idealización de este número.
Será un número \(0 \le p \le 1\).
La probabilidad de que salga cruz, será \(1-p\), también en \([0,1]\).
En Matemáticas, hay toda una teoría de probabilidad y estadística, que nos permite modelizar este tipo de eventos y trabajar con ellos.
La abstracción que hacemos de la moneda se llama variable aleatoria.
Un objeto matemático “estocástico” al que podemos pedir una muestra aleatoria (el equivalente a un lanzamiento de moneda.)
Un paso aleatorio
Dos pasos aleatorios
Paseos aleatorios
\[ X_{n+1} = X_n + \begin{dcases} 1 & \text{con probabilidad } 1/2 \\ -1& \text{con probabilidad } 1/2 \end{dcases} \]
El límite (correctamente escalado) de este proceso es el movimiento browniano.
Apuestas sencillas:
lanzamiento de moneda
Lanzamiento de una moneda equilibrada
Apostemos. Te doy 1€ si sale cara y me das 1€ si sale cruz.
Si jugamos mucho, ni ganamos ni perdemos.
Lanzamiento de una moneda no equilibrada
Apostemos. Te doy 1€ si sale cara y me das 1€ si sale cruz.
Si \(p > \frac 1 2\)… 😁
Lanzamiento de moneda
¿Cuánto gano en general?
Al este juego se lo llama variable aleatoria discreta.
Podríamos denotarla por \(X\), que toma valores \(A\) y \(-B\).
Decimos que \(\mathbb P(X = A) = p\) y \(\mathbb P(X = -B) = 1-p\)
Si jugamos \(n\) veces \[
A \times \text{nº de caras} + (-B) \times \text{nº de cruces} \approx n (A \times p + (-B) \times (1-p))
\]
Llamamos media o valor esperado \(\mathbb E(X) = A \times p + (-B) \times (1-p).\)
Si queremos que sea justo, \(B = \frac{p}{1-p} A\).
Valoración de derivados
Derivado
Una opción financiera es un instrumento financiero derivado que se establece en un contrato que da a su comprador:
el derecho, pero no la obligación,
a comprar o vender bienes o valores (el activo subyacente, que pueden ser acciones, bonos, índices bursátiles, etc.)
a un precio predeterminado (strike o precio de ejercicio, denotado \(K\)),
hasta una fecha concreta (vencimiento, denotado \(T\)).
Modelo binomial de precios
El modelo más simple de un activo con el que jugaremos es un modelo de un sólo paso.
Sea \(S_0\) el valor hoy y \(S_1\) a tiempo de vencimiento \(T\).
Opciones en el modelo binomial de un paso
Pongamos que \(K = 0.5\)€ es el strike.
Entonces gano:
Así que lo que “espero” ganar es \(0.25 \times 1.5 + 0 \times 0.75 = 0.375\) €.
Si compro la opción por \(0.375\) € y lo hago muchas veces, ni gano ni pierdo.
Matemáticamente \(\mathbb E( (S_1-K)_+ )\).
Carteras de inversión (portfolios)
No vivimos en el vacío. Hay bonos, cuyo precio mañana conozco.
Pensemos en un bono cuyo valor aumenta un 10%: \(B_1 = 1.1 B_0\).
(Luego hablaremos de interés)
Una cartera consiste \(\phi \in \mathbb R\) unidades de la acción y \(\psi \in \mathbb R\) unidades del bono.
Su valor a tiempo \(t\) es \(C_t = \phi S_t + \psi B_t.\)
¿Puedo reproducir los pagos de la opción?
Tenemos el sistema (¡oh! ¡no! álgebra) \[ 2\phi + 1.1 \psi = 2 \qquad \qquad 0.5 \phi + 1.1 \psi = 0 \]
Resolviendo el sistema \(\phi = 1\) (long) y \(\psi = -5/11\) (short).
\(C_0 = \phi S_0 + \psi B_0 = \phi + \psi = 6/11 \approx 0.545\).
Hemos obtenido \(C_0 = 0.545, \qquad \mathbb E((S_1 - K)_+) = 0.375\).
En este caso: La cartera es más cara que el precio de la esperanza.
Si compro la opción al precio de esperanza y vendo esta cartera: \(0.375 - 0.545 = -0.17 < 0.\)
Gano 0.17€ hoy.
¡Dinero sin riesgo! A esto se lo conoce como arbitraje.
En el mercado, nadie me venderá la opción a ese precio.
Modelos en dos pasos
Entonces la opción paga a tiempo \(T = 2\).
A tiempo \(1\) se pueden cambiar los coeficientes de la cartera \(C_t = \phi_t S_t + \psi_t B_t\)
con la restricción de que estos cambios no “añadan” o “resten” valor.
Se puede poner cualquier número de pasos.
Modelos en tiempo continuo
Extender este tipo de modelos a múltiples pasos, y pasar al límite lleva a ecuaciones diferenciales estocásticas.
El ejemplo más famoso es Black-Scholes. \[ dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t. \]
También se pueden estudiar conjuntos de varios activos para hacer carteras más complejas.
Interés
¿Cuánto crece el interés compuesto?
Digamos que te pido \(1\)€ hoy, y te prometo \(1.01\)€ mañana. El día \(n\) tendrás \((1.01)^n\)€.
Tiempo
€
1 día
1.01
2 días
1.0201
30 días
1.34784892
1 año
37.78343433
4 años
2_038_007.24074278
Comportamiento exponencial: \((1.01)^n = (e^{\log 1.01})^n = e^{n \log 1.01}\).
Algunos nombres que salen en la tele: TIN y TAE
Pongamos que se contrata un producto, por ejemplo un crédito, que durará un tiempo \(T\) (por ejemplo 1 año).
Consideremos un producto que paga cada \(f\) veces a lo largo de \(T\)
(en el ejemplo \(f=1\) el producto paga 1 vez al año, \(f=2\) el producto paga cada 6 meses, \(f = 3\) cada 4 meses, … )
El tipo de interés nominal (TIN) es \(r\) tal que cada vez que se paga se multiplica \((1 + \frac r f)\).
a lo largo del tiempo \(T\) se recibe un interés efectivo \(R\) tal que \[
1 + R = (1 + \frac r f)^f.
\]
Cuanto \(T = 1\) año se habla de la tasa anual equivalente (TAE).
Comportamiento exponencial
Si el dinero a tiempo \(t\) (en años) se llama \(V(t)\). Pensemos en un tiempo \(t = n/f\).
\[ V(t) = ( 1 + \frac{r}f )^{n} V(0) = ( 1 + \frac{r}f )^{t f} V(0) = \Big( ( 1 + \frac{r}f )^{\frac f r} \Big)^{rt} V(0) \]
Recordamos que \(\lim_{m \to \infty} \left( 1 + \frac 1 m \right)^m = e\) (el número de Euler). ¡Oh, no! ¡Análisis!
Si \(f \to \infty\) entonces llegamos a la fórmula \[ V(t) = e^{rt} V(0) \]
En los modelos de precios en tiempo continuo, se utilizan este tipo de exponenciales como correctores.
¿Preguntas?
Contacto: gomezcastro.xyz
Algunas ideas de matemática financiera. David Gómez-Castro