Algunas ideas de matemática financiera
STEM Bach 2023-2024
May 8, 2024
¿Qué es eso de invertir?
Acciones
Hay empresas en las que se puede comprar una participación (“trocito”) en el mercado, normalmente llamado “bolsas”.
A esta participación se la llama acción. Dan derecho a la parte correspondiente de dividendos.
Se vende un trocito muy pequeño.
Apple tiene se componen en octubre de 2023 de 15_787_154_000 acciones.
Se mueve “estocásticamente”
Derivados
Una opción financiera es un instrumento financiero derivado que se establece en un contrato que da a su comprador:
el derecho, pero no la obligación,
a comprar o vender bienes o valores (el activo subyacente, que pueden ser acciones, bonos, índices bursátiles, etc.)
a un precio predeterminado (strike o precio de ejercicio, denotado \(K\)),
hasta una fecha concreta (vencimiento, denotado \(T\)).
Posibles situaciones favorables para la compra de derivados
Cuando se prevé que una acción va a tener una tendencia alcista, ya que es más barato que la compra de acciones.
Cuando una acción ha tenido una tendencia alcista fuerte, el inversor no ha comprado y puede pensar que está cara, pero que puede seguir subiendo, la compra de una opción de compra permite aprovechar las subidas si la acción sigue subiendo y limitar las pérdidas si la acción cae.
Cuando se quiere comprar acciones en un futuro próximo porque se cree que van a subir pero hoy NO se dispone de los fondos necesarios, la opción de compra permite aprovechar las subidas (si al final se producen) sin tener que comprar las acciones (hoy/ahora).
Interés
“A plazo fijo”. Bonos y otros
Por cada \(1\)€ hoy y te devuelvo \((1+r)\)€ dentro de un tiempo \(T\).
Reinversión
Si esperas hasta \(2T\) tendrás \((1+r)(1+r)X = (1 +r)^2 X\) €.
Interés compuesto
En general, si esperas tiempo \(nT\) tienes \((1+r)^n X\)€.
Análisis de datos
Retornos
Digamos que \(S_t\) es el precio de 1 acción con el tiempo en años, y calculamos con \(dt = 1\) semana.
Intentemos entender cuánto “sube” o “baja” la acción. El incremento de la acción es \(S_t - S_{t-dt}\)
Quizás no es el “incremento absoluto”, si no el relativo (en porcentaje) \(\frac{S_t - S_{t-dt}}{S_{t-dt}}\)
Simplificamos \(\frac{S_t - S_{t-dt}}{S_{t-dt}} = \frac{S_t}{S_{t-dt}} - 1\). Nos basta con entender \(\frac{S_t}{S_{t-dt}}\)
Operando con datos
La experiencia nos dice que la información es mejor si estudiamos \(\log\frac{S_t}{S_{t-dt}} = \log S_t - \log S_{t-dt}\)
Parece “aleatorio”.
Este histograma se puede aproximar razonablemente por una distribución normal.
¡Oh, no! ¡Probabilidad!
¿Cómo se ajusta una distribución normal?
Se utilizan la media muestral y la cuasi-varianza muestral \[ \begin{aligned} \overline x &= \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i \\ \overline \sigma &= \sqrt{\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline x)^2 } \end{aligned} \]
Hay un muy buen modelo matemático para cosas con \[ X_{t + dt} - X_t \sim \textrm{Normal}(...) \]
Movimiento browniano